Probabilités et statistiques - Spécialité

Les variables aléatoires : Espérance, variance, écart-type

Exercice 1 : Espérance de gain d'une loi discrète (transformation affine d'une variable aléatoire)

Une roue de loterie s'arrête de façon équiprobable sur un numéro entre 1 et 5 et permet les gains suivants :

Numéro\( 1 \)\( 2 \)\( 3 \)\( 4 \)\( 5 \)
Gains (en €)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 8 \)

Soit \( X \) la variable aléatoire égale au gain d'un joueur.

Calculer l'espérance de gain \( E(X) \) de ce jeu.
On donnera le résultat sous forme d’entier ou de fraction.
Calculer la variance \( V(X) \) de ce jeu.
On donnera le résultat sous forme d’entier ou de fraction.

Si on paye \( 8 € \) on peut multiplier les gains par \( 3 \).
Soit \( Y \) la variable aléatoire qui donne le gain algébrique total qui correspond à ce nouveau jeu.

Donner l'expression de la variable aléatoire \( Y \) en fonction de \( X \)
En déduire l'espérance de gain algébrique réel \( E(Y) \) de ce jeu.
On donnera le résultat sous forme d’entier ou de fraction.
Calculer la variance \( V(Y) \) correspondante.
On donnera le résultat sous forme d’entier ou de fraction.

Exercice 2 : Espérance de gain d'une loi discrète

Voici le tableau représentant la loi d'une variable aléatoire correspondant à un jeu de hasard.

Probabilité\( \dfrac{1}{2} \)\( \dfrac{1}{10} \)\( \dfrac{1}{5} \)\( \dfrac{1}{5} \)
Gains (en €)7000-1000-10004000

Calculer l'espérance de gain de ce jeu.
Faut-il jouer à ce jeu un grand nombre de fois ?

Exercice 3 : Espérance et variance d'une loi discrète

Voici le tableau représentant la loi d'une variable aléatoire correspondant à un jeu de hasard.

Probabilité\( \dfrac{2}{5} \)\( \dfrac{1}{10} \)\( \dfrac{1}{2} \)
Gains (en €)50-2070

Calculer l'espérance de gain de ce jeu.
Calculer la variance de ce jeu.

Exercice 4 : Espérance de gain d'une loi discrète (transformation affine d'une variable aléatoire)

Une roue de loterie s'arrête de façon équiprobable sur un numéro entre 1 et 6 et permet les gains suivants :

Numéro\( 1 \)\( 2 \)\( 3 \)\( 4 \)\( 5 \)\( 6 \)
Gains (en €)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 2 \)\( 6 \)\( 9 \)

Soit \( X \) la variable aléatoire égale au gain d'un joueur.

Calculer l'espérance de gain \( E(X) \) de ce jeu.
On donnera le résultat sous forme d’entier ou de fraction.

Si on paye \( 11 € \) on peut multiplier les gains par \( 4 \).
Soit \( Y \) la variable aléatoire qui donne le gain algébrique total qui correspond à ce nouveau jeu.

Donner l'expression de la variable aléatoire \( Y \) en fonction de \( X \)
En déduire l'espérance de gain algébrique réel \( E(Y) \) de ce jeu.
On donnera le résultat sous forme d’entier ou de fraction.

Exercice 5 : Utilisation de la définition de l'espérance ; calcul d'écart-type

Phylicia et ses amis jouent à un jeu de hasard où ils peuvent gagner à chaque partie \( 0, 5, 10 \:\text{ou}\: 50 \) jetons.

Après un certain nombre de parties, ils ont noté les résultats obtenus :
  • \( 291 \) parties leur ont donné un gain nul.
  • \( 30 \) parties leur ont donné un gain de \( 5 \) jetons.
  • \( 99 \) parties leur ont donné un gain de \( 50 \) jetons.
Enfin, ils ont remarqué qu'ils gagnaient en moyenne \( 12 \) jetons à chaque partie.

Pour combien de parties ont-ils eu un gain de \( 10 \) jetons ?
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False